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上海大学2015年大一转专业考试大纲

科目：微积分

总分：100分 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷

一、考试目的

微积分考试是对学生掌握微积分基本定义、性质、理论、计算能力的检验，考核学生利用微积分理论分析问题和解决问题的综合能力。

二、适用学生的范围

适用于要求进入经济管理类、理学工学类、卓越工程师班、翔英学院专业的学生。

三、考试内容及具体要求

（一）函数的极限与连续

1.函数极限的性质与计算.

2.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质.

3.极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

4.函数的连续性及其性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

5.函数计算的罗必达法则.

（二）一元函数微分学

1.导数和微分计算、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

3.高阶导数的计算.

4.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

5.函数的极值、函数单调性、函数最大值和最小值及其简单应用.

6.函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线).

（三）一元函数积分学

1.不定积分的基本性质、不定积分的计算.

2.定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.定积分计算

3.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长等．

4.广义积分.

（四）常微分方程

1.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程求解.

2.可降阶微分方程.

3.二阶常系数齐次与非齐次微分方程.

4.微分方程的简单应用.

（五）空间解析几何

1.向量的运算，向量的垂直、平行判别条件、向量夹角计算.

2.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.

3.曲面方程、空间曲线方程、平面方程、直线方程.

4.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.

5.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.

（六）多元函数微分学

1.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

2.多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数.

3.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.

4.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.

（七）多元函数积分学　

1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

2.立体图形的体积、曲面面积的计算

（八）无穷级数

1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.

2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.

3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

4.求级数和函数与函数幂级数展开.

（九）曲线积分与曲面积分

1.两类曲线积分与两类曲面积分.

2.曲线积分与路径无关、Green公式，全微分方程.

3.两类曲线积分联系、两类曲面积分联系.

4.高斯公式

四、参考书目

《高等数学》（上、下册） 上海大学数学系编， 高等教育出版社 2011。

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